Pemodelan Eksponensial dan Logaritma

Beberapa proses yang terjadi di sekitar kita, seperti pertumbuhan penduduk, peluruhan radioaktif, penyebaran kalor, dan banyak lagi lainnya, dapat dimodelkan dengan menggunakan fungsi-fungsi eksponensial dan logaritma. Pada pembahasan ini kita akan belajar mengenai pemodelan eksponensial dan logaritma. Secara khusus, pada pembahasan ini kita akan membahas beberapa hal berikut ini.

Pemodelan Eksponensial dan Logaritma

Pendahuluan

Lima jenis model matematis yang paling umum berkaitan dengan fungsi-fungsi eksponensial dan logaritma adalah sebagai berikut.

  1. Model pertumbuhan eksponensial:
    Model 1
  2. Model penurunan eksponensial:
    Model 2
  3. Model Gaussian:
    Model 3
  4. Model pertumbuhan logistik:
    Model 4
  5. Model logaritma:
    Model 5

Bentuk dasar dari grafik fungsi-fungsi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 1

Seringkali kita dapat melihat bahwa suatu permasalahan dapat dimodelkan dengan fungsi eksponensial atau logaritma jika kita bisa mengidentifikasi asimtot dari grafik yang diberikan (atau yang kita gambar).

Pertumbuhan dan Penuruan Eksponensial

Contoh 1: Memodelkan Pertumbuhan dan Penurunan Populasi

Tabel berikut ini menunjukkan jumlah penduduk tengah tahun (dalam jutaan) dari lima negara di tahun 2010 dan jumlah penduduk yang diproyeksikan (dalam jutaan) untuk tahun 2020. (Sumber: Wolfram Research.)

Contoh 1 Tabel 1

  1. Carilah model pertumbuhan atau penurunan eksponensial y = aebt atau y = aebt untuk masing-masing negara dengan memisalkan t = 10 untuk tahun 2010. Gunakan model ini untuk memprediksi jumlah penduduk pada masing-masing negara pada tahun 2030.
  2. Kita dapat melihat bahwa laju pertumbuhan penduduk di Indonesia berbeda dengan di Amerika Serikat. Konstanta manakah dalam persamaan y = aebt yang memberikan laju pertumbuhan penduduk? Apakah hubungan antara laju pertumbuhan penduduk yang berbeda dengan besar konstanta tersebut?
  3. Kita juga dapat melihat bahwa jumlah penduduk di Cina naik, sedangkan jumlah penduduk di Bulgaria turun. Konstanta manakah dalam persamaan y = aebt yang menunjukkan perbedaan ini? Jelaskan.

Pembahasan Untuk masing-masing negara, misalkan y merupakan jumlah penduduk setelah t tahun.

  1. Pertama kita cari model pertumbuhan penduduk pada negara Bulgaria. Dari tabel kita dapat melihat bahwa ketika t = 10 diketahui y = 7,5 dan ketika t = 20 diketahui y = 7,1. Sehingga kita peroleh
    Contoh 1-1 Substitusi
    Untuk menyelesaikan b, kita selesaikan a pada persamaan pertama.
    Contoh 1-1 Menyelesaikan a
    Kemudian kita substitusi hasilnya ke dalam persamaan kedua.
    Contoh 1-1 Menyelesaikan b
    Dengan menggunakan b = (1/10)ln(7,1/7,5) dan persamaan sebelumnya, kita mendapatkan
    Contoh 1-1 Nilai a
    Sehingga, dengan a ≈ 7,92 dan b = (1/10) ln(7,1/7,5) ≈ –0,0055, model eksponensial pertumbuhan penduduk negara Bulgaria adalah
    Contoh 1-1 Model
    Dengan cara yang sama, kita mendapatkan model pertumbuhan penduduk untuk negara-negara lainnya. Model-model tersebut dapat ditunjukkan oleh tabel berikut.
    Contoh 1-1 Tabel 2
  2. Dari model yang diperoleh kita dapat melihat bahwa yang mempengaruhi besar kecilnya laju pertumbuhan penduduk adalah konstanta b, yaitu 0,0099 untuk Indonesia dan 0,0116 untuk Amerika Serikat. Semakin besar konstanta b, maka semakin tinggi juga laju pertumbuhan penduduknya. Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa laju pertumbuhan penduduk di Amerika Serikat lebih tinggi daripada Indonesia.
  3. Konstanta yang mempengaruhi turun naiknya pertumbuhan penduduk adalah konstanta b. Dalam tabel kita dapat melihat bahwa konstanta b pada model pertumbuhan penduduk di Cina adalah 0,0050 (positif) dan di Bulgaria adalah –0,0055 (negatif). Jika pangkat e positif maka nilai y akan naik, karena y = aebt dengan ebt > 1. Sebaliknya jika pangkat e negatif maka nilai y akan turun karena y = ae–bt dapat dituliskan menjadi y = a/ebt. Dengan kata lain, y merupakan hasil bagi a dengan bilangan ebt > 1, sehingga nilai y akan semakin kecil.
  4. Dalam materi organik hidup, perbandingan banyaknya isotop karbon radioaktif (karbon 14) dan isotop karbon nonradioaktif adalah 1 banding 1012. Ketika materi organik mati, kadar karbon 12-nya tetap, sedangkan karbon 14-nya berkurang setengah selama 5700 tahun. Untuk memperkirakan umur materi organik yang mati, para ilmuwan menggunakan rumus berikut, yang memberikan perbandingan karbon 14 dan karbon 12 dalam sembarang waktu t (dalam tahun).

    Model Penanggalan Karbon

    Grafik R dapat ditunjukkan oleh Gambar 1. Perhatikan bahwa R turun ketika t naik.

    Gambar 2

    Contoh 2: Penanggalan Karbon

    Perkirakan umur fosil yang memiliki perbandingan karbon 14 dan karbon 12, R = 1/1013.

    Pembahasan Dalam model penanggalan karbon, kita substitusi nilai R yang diberikan untuk mendapatkan t.

    Contoh 2

    Jadi, jika dibulatkan ke dalam ribuan terdekat, umur fosil tersebut sekitar 19.000 tahun.

    Model Gaussian

    Seperti yang telah disebutkan di awal, model Gaussian memiliki bentuk

    Model Gaussian

    Dalam statistika dan peluang, model jenis ini biasanya merepresentasikan populasi yang memiliki distribusi normal. Grafik model Gaussian disebut kurva lonceng.

    Untuk distribusi normal baku, model ini memiliki bentuk

    Model Gaussian Baku

    Nilai rata-rata dari suatu populasi dapat dicari dari kurva lonceng dengan mengamati di mana letak nilai y maksimum dari fungsi tersebut. Nilai x yang bersesuaian dengan nilai y maksimum tersebut merupakan nilai rata-rata dari variabel bebasnya—dalam kasus ini, x.

    Contoh 3: Skor Tes IQ

    Skor tes IQ dari sekelompok mahasiswa dalam suatu perguruan tinggi mengikuti distribusi normal

    Contoh 3

    di mana x adalah skor tes IQ. Gambarlah grafik dari fungsi yang diberikan. Berdasarkan grafik yang dihasilkan, perkirakan nilai rata-rata skor tes IQ dari mahasiswa-mahasiswa tersebut.

    Pembahasan Grafik fungsi yang diberikan dapat ditunjukkan oleh Gambar 3. Pada kurva lonceng, nilai maksimum kurva merepresentasikan skor rata-rata. Dari grafik, kita dapat memperkirakan bahwa rata-rata skor tes IQ mahasiswa tersebut adalah 100.

    Gambar 3

    Contoh 4: Pendidikan

    Banyaknya waktu (dalam jam per minggunya) yang digunakan oleh siswa untuk belajar matematika di lembaga bimbingan belajar diperkirakan mengikuti distribusi normal

    Contoh 4

    di mana x adalah jumlah jam. Gambarlah grafik fungsi tersebut, kemudian perkirakan rata-rata waktu yang digunakan oleh siswa untuk belajar matematika dalam lembaga bimbingan belajar tiap minggunya.

    Pembahasan Grafik fungsi yang diberikan ditunjukkan oleh Gambar 4. Karena nilai maksimum grafik tersebut terjadi pada x = 5,4 maka rata-rata waktu yang digunakan oleh siswa untuk belajar matematika dalam lembaga bimbingan belajar adalah 5,4 jam tiap minggunya.

    Gambar 4

    Pemodelan Pertumbuhan Logistik

    Gambar 5Beberapa populasi pada awalnya memiliki pertumbuhan yang pesat, dan diikuti dengan laju pertumbuhan yang menurun, seperti yang ditunjukkan Gambar 5. Satu model yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan pola pertumbuhan ini adalah kurva logistik, yang diberikan oleh fungsi

    Model Pertumbuhan Logistik

    di mana y adalah besar populasi dan x adalah waktu. Salah satu contohnya adalah populasi bakteri yang awalnya tumbuh dalam kondisi yang ideal dan kemudian diatur untuk tumbuh dalam kondisi yang kurang menguntungkan untuk mencegah pertumbuhan bakteri tersebut. Kurva pertumbuhan logistik disebut juga kurva sigmoidal.

    Contoh 5: Penyebaran Virus

    Dalan suatu sekolah dengan 5000 siswa, satu siswa pulang dari liburan dengan membawa virus flu yang menular. Penyebaran virus ini dimodelkan dengan

    Contoh 5

    dengan t ≥ 0, di mana y adalah banyaknya siswa yang terinfeksi setelah t hari. Sekolah tersebut akan meliburkan semua kelas ketika 40% atau lebih siswa sekolah tersebut terinfeksi.

    1. Berapa banyak siswa yang terinfeksi setelah 5 hari?
    2. Setelah berapa hari sekolah tersebut libur?

    Pembahasan

    1. Setelah 5 hari, banyaknya siswa yang terinfeksi adalah
      Contoh 5-1
    2. Sekolah tersebut akan meliburkan semua kelasnya ketika banyaknya siswa yang terinfeksi adalah (0,40)(5000) = 2000.
      Contoh 5-2
      Jadi, setelah 10 hari (atau mulai hari ke-11), sedikitnya 40% siswa akan terinfeksi, dan sekolah tersebut akan libur.

    Contoh 6: Penjualan

    Setelah tidak melanjutkan semua jenis periklanan pada tahun 2007, sebuah perusahaan mencatat bahwa penjualannya mulai menurun berdasarkan model

    Contoh 6

    di mana S merepresentasikan banyaknya produk yang terjual dan t = 7 merepresentasikan 2007. Pada tahun 2011, perusahaan tersebut dapat menjual 300.000 produknya.

    1. Lengkapilah model tersebut dengan menyelesaikan k.
    2. Perkirakan penjualan perusahaan tersebut pada tahun 2020.

    Pembahasan

    1. Karena perusahaan tersebut dapat menjual 300.000 produknya pada tahun 2011 (t = 11), maka
      Contoh 6-1 k
      Sehingga model penjualan perusahaan tersebut adalah
      Contoh 6-1 Model
    2. Untuk memperkirakan penjualan pada tahun 2020, kita substitusi t = 20.
      Contoh 6-2
      Jadi, perusahaan tersebut diperkirakan dapat menjual 371.682 produk pada tahun 2020.

      Model Logaritma

      Contoh 7: Kekuatan Gempa Bumi

      Dalam skala Richter, kekuatan R dari suatu gempa bumi dengan intensitas I dimodelkan dengan

      Contoh 7

      di mana I0 = 1 merupakan intensitas minimum yang digunakan untuk perbandingan. Tentukan intensitas masing-masing gempa bumi berikut. (Intensitas merupakan ukuran energi gelombang dari suatu gempa bumi.)

      1. D. I. Yogyakarta dan Klaten pada tahun 2006: R = 5,9.
      2. Pulau Sumatra pada tahun 2012: R = 8,5.

      Pembahasan

      1. Karena I0 = 1 dan R = 5,9, kita mendapatkan
        Contoh 7-1
      2. Untuk R = 8,5, kita mendapatkan
        Contoh 7-2

      Perhatikan bahwa peningkatan 2,6 satuan skala Richter (dari 5,9 ke 8,5) merepresentasikan peningkatan intensitas dengan faktor 316.000.000/800.000 = 395. Dengan kata lain, intensitas gempa bumi di Pulau Sumatara 395 lebih besar dari pada gempa bumi di D. I. Yogyakarta dan Klaten.

      Penutup

      Pada pembahasan ini kita telah berlatih mengenai pemodelan eksponensial dan logaritma. Pertama kita telah mendeskripsikan lima jenis pemodelan eksponensial dan logaritma yang paling umum, yaitu model pertumbuhan eksponensial, model penurunan eksponensial, model Gaussian, model pertumbuhan logistik, dan model logaritma.

      Pada Contoh 1, kita gunakan model pertumbuhan dan penurunan eksponen untuk memodelkan dan menyelesaikan permasalahan populasi penduduk beberapa negara di dunia. Pada Contoh 2, kita gunakan model penurunan eksponensial untuk melakukan penanggalan karbon pada materi organik yang sudah mati.

      Pada Contoh 3, kita gunakan model Gaussian untuk memodelkan dan menyelesaikan permasalahan mengenai tes IQ. Sedangkan dalam Contoh 4 kita gunakan model ini untuk memodelkan distribusi waktu yang dihabiskan oleh siswa untuk belajar matematika dalam lembaga bimbingan belajar tiap minggunya.

      Contoh 5 dan Contoh 6 menunjukkan penggunaan model pertumbuhan logistik untuk memodelkan dan menyelesaikan permasalahan mengenai penyebaran virus dan penjualan. Sedangkan model logaritma digunakan dalam Contoh 7 untuk menghitung intensitas (kekuatan gelombang) gempa bumi di D. I. Yogyakarta dan Klaten, serta Pulau Sumatra jika diketahui kekuatan gempa bumi dalam skala Richter. Semoga bermanfaat,

      *Mari kita berbagi 🙂

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s